Production de stylos

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Partie A

Les stylos utilisés par une entreprise sont fabriqués par deux ateliers \(\text{A}_1\) et \(\text{A}_2\). L’atelier \(\text{A}_1\) fabrique \(60\; \%\) des stylos de cette entreprise, et \(5\; \%\) de ceux-ci possèdent un défaut de fabrication. De plus, \(1\; \%\) des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l’atelier \(\text{A}_2\). Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l’entreprise.

On considère les événements :
\(\text{A}_1\) : « le stylo a été fabriqué par l’atelier \(\text{A}_1\) »
\(\text{A}_2\) : « le stylo a été fabriqué par l’atelier \(\text{A}_2\) »
\(\text{D}\) : « le stylo possède un défaut de fabrication »

1. a. Calculer la probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier \(\text{A}_1\) et possède un défaut de fabrication.
    b. En déduire que la probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de \(0{,}04\).
2. On prélève un stylo au hasard dans l’atelier \(\text{A}_2\). Quelle est la probabilité qu’il possède un défaut ?

Partie B

Dans cette partie, on suppose que \(4\; \%\) des stylos possèdent un défaut de fabrication. L’entreprise confectionne des paquets contenant chacun \(10\) stylos. On appelle \(X\) la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale.

1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus \(2\) stylos possédant un défaut dans un paquet de \(10\) stylos.